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Résolution numérique
des équations aux dérivées partielles



A. Le Pourhiet, Résolution numérique des équations aux dérivées partielles :
une première approche
. Éditions_Cépaduès, Toulouse, 1988.

       Les équations aux dérivées partielles sont présentes dans toutes les branches de la physique et de l'ingénierie : thermique, mécanique des fluides, électricité, génie chimique, biologie, géologie, etc. Les méthodes informatiques de leur résolution concernent donc un vaste public scientifique. En éliminant au maximum l'environnement de mathématiques théoriques habituel à l'exposé de ces méthodes, cet ouvrage s'adresse essentiellement aux ingénieurs, chercheurs et étudiants désireux avant tout de s'initier à des techniques de résolution pratiques et concrètes. Les méthodes de résolution numérique sont clairement dissociées en deux grandes familles :

  • celles qui sont basées sur les approximations d'équations (différences finies) ;
  • celles qui impliquent une structure d'approximation de solution (résidus pondérés, éléments finis).
    Les principes et les performances des méthodes sont présentés et analysés sur des exemples simples. Le niveau rnathématique requis est celui du premier cycle des universités et de l'entrée aux écoles d'ingénieurs.



PLAN DE L'OUVRAGE


Chapitre I : Classification des équations aux dérivées partielles
Rappel sur la classification des coniques, mise sous forme d'état d'une équation, notion de caractéristique, équations d'évolution et équations stationnaires.

PREMIER TYPE DE RÉSOLUTION :
MÉTHODES D'APPROXIMATION D'ÉQUATIONS  (DIFFÉRENCES FINIES)


Chapitre II : Représentativité d'une solution numérique
Erreur de troncature, notion de consistance, définition et calcul de la matrice d'amplification, stabilité, convergence, théorème de Lax.

Chapitre III : Équations paraboliques
Équations à une dimension d'espace : schémas explicite, implicite, mixte pondéré ; choix du coefficient de pondération, méthode de Crank-Nicholson. Équations à plusieurs dimensions d'espace : extension des méthodes à une dimension, méthodes à pas fractionnaires réels et virtuels (directions alternées, désintégration, corrections stabilisatrices...).
 
Chapitre IV : Équations hyperboliques
Domaines d'influence et de dépendance, équation des ondes, résolution à l'aide des caractéristiques ; méthodes des différences finies en maillage classique ; équations scalaires et matricielles, schémas de discrétisation centrés et décentrés ; méthodes à pas fractionnaires.

Chapitre V : Équations elliptiques
Principe de résolution itérative des équations stationnaires, méthode des déplacements simultanés et successifs. Méthodes de relaxation, de Frankel-Young, des directions alternées, taux de convergence, analyse comparative des différentes méthodes.

Chapitre VI : Discrétisation des dérivées partielles
Discrétisations monodimensionnelle et bidimensionnelle en pas variables ; maillages géométriques rectangulaire, triangulaire, hexagonal.


DEUXIÈME TYPE DE RÉSOLUTION :
MÉTHODES D'APPROXIMATION DE SOLUTION 


Chapitre VII : La méthode des résidus pondérés
Formulation intégrale normale : méthodes de collocation, de Galerkin, des fonctions splines ; formulation faible, notion d'éléments finis.

Chapitre VIII : Résolution par minimisation de fonctionnelle : méthode de Ritz
Rappel d'analyse fonctionnelle, obtention d'une fonctionnelle à partir du système différentiel.

Chapitre IX : La méthode des éléments finis : principes de base et exemple introductif monodimensionnel
Définition de la méthode. Fonctions d'interpolation, constitution pratique du système à résoudre, assemblage d'éléments, partitionnement, variables nodales supplémentaires.

Chapitre X : La méthode des éléments finis : mise en oeuvre en espace à deux et trois dimensions
Coordonnées de surface et de volume ; éléments rectangulaires, triangulaires, parallélépipédiques, tétraédriques ; fonctions d'interpolation de Lagrange et Serendip ; éléments courbes isoparamétriques.

Annexes : Formule de Green, méthodes d'intégration numérique, la recette du kig-ha-farz.



INTRODUCTION



BUT DE L'OUVRAGE

   Les équations aux dérivées partielles sont des équations différentielles mettant en jeu plusieurs variables indépendantes ; celles-ci sont des variables d'espace auxquelles s'ajoute le temps lorsque l'équation traduit un phénomène d'évolution. Ces équations ont leur origine dans l'écriture des bilans microscopiques de masse, de mouvement ou d'énergie, et c'est dire qu'on les rencontre dans tous les domaines de la physique : thermique, mécanique, électricité, géologie, biologie, etc. Les équations de la diffusion, par exemple, concernent autant le thermicien qui analyse les propriétés isolantes d'un matériau, que le géologue qui étudie les transferts d'humidité dans une roche poreuse, ou encore que le biologiste intéressé à la migration d'une population bactériologique dans un milieu organique. L'écriture et la résolution des équations aux dérivées partielles s'adressent donc à un vaste public scientifique.

   Le présent ouvrage ne concerne pas l'écriture des bilans qui conduisent à représenter les phénomènes par des équations aux dérivées partielles ; nous renvoyons pour cela le lecteur aux multiples ouvrages spécialisés de physique théorique ou appliquée. Ces équations ont donc été écrites déjà, et on peut admettre qu'elles traduisent convenablement la réalité qu'elles sont supposées représenter. Le but de ce livre est seulement d'exposer les méthodes conduisant à leur résolution pratique. Comme on ne sait pas, en général, trouver les solutions analytiques des équations aux dérivées partielles, il est nécessaire d'en chercher des solutions approchées, aussi voisines que possible de ces solutions exactes inconnues.

   Les méthodes de résolution approchée présentées ici sont exclusivement des méthodes conduisant à des algorithmes numériques destinés à être implantés sur calculateur. C'est en effet avec l'avènement des calculateurs puissants que se sont développés et multipliés les outils méthodologiques de résolution dont l'exigence en capacité de mémoire est souvent très grande. Le maniement des ordinateurs est désormais familier aux étudiants, aux chercheurs, et aux ingénieurs de toutes les branches scientifiques, et la pratique de ces résolutions peut donc être accessible à tous. Toutefois, la plupart des livres consacrés à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles sont à vocation essentiellement mathématique ; ils s'adressent donc difficilement à un nombreux public d'étudiants et d'ingénieurs qui ne veulent, ou ne peuvent, faire l'effort nécessité par la compréhension d'ouvrages abstraits dont les préoccupations se situent loin de tout pragmatisme. Notre souci a donc été de réunir ici, de façon homogène et en éliminant au maximum l'environnement théorique habituel à ces exposés, les principes de base des méthodes numériques capables de répondre à leurs besoins. C'est pourquoi, dans la présentation qui suit, on insistera davantage sur les aspects les plus utiles pour l'ingénieur, sans trop insister sur des démonstrations et validations théoriques, importantes certes, mais qui ne nous ont pas semblé indispensables du premier point de vue d'un utilisateur soucieux avant tout de s'initier à des techniques pratiques et concrètes.

    Le contenu et le plan de ce livre correspondent à l'enseignement donné par l'auteur en quatrième année de spécialisation à l'École Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace. Cet enseignement, d'ingénieur à ingénieurs, n'est pas un cours de mathématiques et ce livre ne doit pas être considéré comme tel ; il correspond au manuel simple qu'aurait aimé trouver l'auteur lorsqu'il a commence à s'intéresser, dans le cadre de l'optimisation de processus physiques et industriels, à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est le résultat du travail bibliographique de résumé et de synthèse effectué alors et depuis ; nous souhaitons que le lecteur puisse profiter de l'expérience ainsi réunie et acquérir assez facilement les notions essentielles, quitte à approfondir ensuite un problème spécifique à l'aide de références spécialisées ainsi rendues plus accessibles. En tout état de cause ce livre ne constitue donc qu'une première approche de la résolution numérique des équations aux dérivées partielles.


PLAN DE L'OUVRAGE

    Les méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles sont classées en deux grandes familles radicalement différentes dans leurs principes. La première concerne les algorithmes basés sur les équations discrétisées des équations physiques continues ce sont les méthodes dites "d'approximation d'équations" ou encore "aux différences finies". La seconde famille regroupe les méthodes qui abordent le problème non plus par des équations approchées, mais directement par des modèles de solutions approchées : ce sont les méthodes "d'approximation de solutions". Après un premier chapitre de généralités, on consacre à ces deux familles de méthodes respectivement cinq et quatre chapitres dont les contenus sont sommairement décrits ci-après.

     Le chapitre 1, introductif, concerne la classification générale des équations aux dérivées partielles. Cette classification est établie, au départ, sur l'équation particulière d'ordre deux et à deux variables indépendantes, en s'inspirant de la classification des équations algébriques des coniques ; on définit ainsi, simplement d'abord, les équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques, puis on associe ces définitions à celle des directions caractéristiques de l'équation. Une seconde classification, fondamentale pour la compréhension et la mise en œuvre des algorithmes itératifs de résolution numérique, est établie parallèlement à la première : elle distingue les équations d'évolution et les équations stationnaires. Dans ce chapitre, on insiste aussi sur la mise sous forme matricielle des équations scalaires, la forme matricielle étant d'utilisation informatique plus efficace.

     Le chapitre 2 concerne la représentativité de la solution numérique d'une équation aux dérivées partielles discrétisée par la méthode des différences finies. Cette représentativité est assurée, sous certaines réserves, à condition que l'équation discrète soit consistante avec l'équation continue d'origine, et que sa résolution soit stable. On précise dans ce chapitre la définition des notions de consistance, de stabilité et de convergence ; on développe la méthode générale qui permet de calculer la précision que l'on peut attendre du schéma discret choisi ; on donne enfin la règle de calcul de la relation à laquelle doivent éventuellement obéir les pas de discrétisation pour que la stabilité soit garantie. De nombreux exemples classiques et simples illustrent cela.

     Le chapitre 3 est consacré à la résolution des équations paraboliques, pour lesquelles l'équation de la diffusion sert d'exemple. Dans le cadre de l'équation à une seule dimension d'espace, on approfondit les performances des schémas explicite, implicite et mixte tant sur le plan de la précision que sur celui de la stabilité. Pour plusieurs dimensions d'espace, on donne un exposé unifié des méthodes à pas fractionnaires réels et virtuels ; l'importance pratique de ces méthodes est très grande.

     Le chapitre 4 est réservé à la résolution des équations hyperboliques par la méthode des différences finies. Deux types de maillages discrets sont utilisés : le maillage naturel qui utilise les directions caractéristiques réelles propres à ce type d'équations, et le maillage conventionnel préétabli en coordonnées classiques, cartésiennes ou autres. En raison de leur importance pratique et de leurs qualités pédagogiques, les équations linéaires du premier et du second ordre sont étudiées en détail, et particulièrement l'équation des ondes sous ses formes scalaire et matricielles.

     Le chapitre 5 traite de la résolution des équations stationnaires elliptiques. Après quelques rappels utiles des méthodes itératives de minimisation de normes quadratiques associées aux systèmes algébriques symétriques et définis positifs, on développe les méthodes itératives de résolution des grands systèmes algébriques issus de la discrétisation des équations stationnaires : méthodes des déplacements simultanés, des déplacements successifs, méthodes de relaxation à convergence accélérée, méthodes dérivées des équations d'évolution. En raison de ses remarquables performances en rapidité de calcul, une place spéciale est donnée à la méthode de relaxation optimale de Frankel-Young, sans doute la plus utilisée en pratique. Sur l'exemple important et simple de l'équation de Laplace, toutes ces méthodes sont ensuite comparées entre elles, du point de vue de leur rapidité et des difficultés relatives de leur mise en œuvre.

     Au chapitre 6 on établit quelques formules générales et utiles pour discrétiser les dérivées partielles en pas variables. Pour l'espace à deux dimensions, on donne quelques maillages spéciaux particulièrement adaptés au découpage de certaines surfaces.

     C'est par la méthode des résidus pondérés qu'au chapitre 7 on aborde le principe de résolution impliquant des modèles approximatifs de solution ; la notion d'éléments finis est ensuite introduite à l'aide de la méthode particulière des fonctions splines. Par l'utilisation de la formule de Green (*), la formulation normale des résidus pondérés est transformée en une autre formulation dite "faible", moins exigeante en continuité pour l'approximation de solution, et dont la résolution est d'autant plus facilitée qu'on utilise la méthode de Galerkin. On suggère enfin que l'utilisation conjointe de la formulation faible, de la méthode de Galerkin et des éléments finis, semble la plus appropriée pour résoudre les problèmes à géométrie complexe.

     Le chapitre 8 commence par quelques rappels mathématiques sur les méthodes variationnelles et sur l'analyse fonctionnelle. Ces rappels ont pour but essentiel de montrer que la minimisation d'une fonctionnelle est équivalente à la résolution de son équation différentielle d'Euler ; plus précisément, on montre que la minimisation de la fonctionnelle par la méthode de Ritz conduit à la résolution du même système algébrique que celui obtenu par la méthode de Galerkin appliquée à la formulation intégrale faible de l'équation d'Euler. La bonne compréhension de cette équivalence est importante en pratique car beaucoup de problèmes physiques sont directement posés en termes de minimisation d'une fonctionnelle naturelle.

     Par souci pédagogique, il a paru souhaitable de bien dissocier la compréhension des principes de base de la méthode des éléments finis et les techniques de sa mise en œuvre. Les principes de base et les règles générales d'utilisation sont énoncés au chapitre 9 en s'appuyant, tout au long de celui-ci, sur un exemple mono-dimensionnel de la plus grande simplicité. Cette approche a pour but de faciliter au maximum le travail d'assimilation. demandé au lecteur ; en effet, les principes de base étant les mêmes quel que soit le nombre de variables indépendantes, l'extension de la méthode des éléments finis aux cas bi- et tri-dimensionnels n'est plus alors qu'affaire de généralisation et de technique. En raison de l'importance considérable de cette méthode, c'est pour dissocier ces deux étapes avec le maximum de clarté qu'elles ont été isolées dans deux chapitres différents. On a voulu ainsi éviter de rebuter d'entrée le lecteur par un exposé trop théorique ou par un exemple trop compliqué, et le familiariser en douceur avec une méthode dont l'approche n'est pas toujours évidente.

     Pour les problèmes à deux et trois dimensions d'espace, le chapitre 10 n'est ainsi exclusivement consacré qu'à la géométrie des découpages spatiaux élémentaires et à l'algèbre des fonctions d'interpolation correspondantes.

     Dans tout cet ouvrage, un losange blanc précède les titres des paragraphes qui demandent un effort d'assimilation mathématique plus important ou dont la lecture n'est pas indispensable à la compréhension de la suite. La bibliographie est sommaire et a été réduite aux titres essentiels recouvrant la totalité du sujet traité; ceux-ci ont été retenus comme étant ceux dont la lecture reste la plus abordable et, à notre avis, la plus rentable pour l'ingénieur désireux de poursuivre plus loin sa connaissance sur le sujet. Les articles focalisés sur des problèmes particuliers ont volontairement été écartés de cette bibliographie.


REMERCIEMENTS

      Nous tenons ici à remercier Électricité de France pour le financement d'études menées au Département d'Automatique du Centre d'Études et de Recherches de Toulouse (ONERA-CERT) et parallèlement auxquelles une partie de ce travail a été effectuée. Nos remerciements vont aussi à Soizic Le Menec'h, crêpière dans le Haut-Léon, et dont la participation inattendue à la fin de cet ouvrage aura peut-être le mérite de ne pas laisser sur sa faim un lecteur dont nous n'aurions su que trop partiellement combler l'appétit.

 


(*) NOTE : LE PLANIMÈTRE DE AMSLER

      Voir une application pratique (et amusante) de la formule de Green dans le planimètre de Amsler qui permet de mesurer des aires grâce à la circulation d'un pointeur sur leur contour.


      Sur l'image ci-dessus, l'appareil est ancré sur le plan par le socle A immobile, et la pointe B circule sur le contour de la surface. L'aire mesurée au vernier est (évidemment) indépendante de la position de A, conformément à la formule de Green.

autres Images : cliquer ici.   Détails mathématiques : cliquer ici ou



ANNEXE III

La recette du “kig-ha-farz”

(en breton “porc et far”)


    Étonné à juste titre, le lecteur fourvoyé ici se demandera s’il ne s’est pas trompé de livre, ou bien comprendra-t-il avec malice que les quelques allusions culinaires faites dans cet ouvrage n’étaient que des prétextes préparatoires à cet exposé insolite de la recette du kig-ha-farz ; peut-être même pensera-t-il que cet exposé constituait la véritable finalité du livre ; la référence [30] est un précédent à ce genre de subterfuge. Au lecteur réticent et bousculé dans sa rigueur mathématique, disons que l’assimilation des équations aux dérivées partielles est parfois indigeste, et que la parenté de celles-ci avec le kig-ha-farz est donc toute trouvée ; la dérive du sujet traité n’étant ainsi plus totale, elle est donc partielle et peut permettre de justifier la présente incartade.
     L’histoire du kig-ha-farz et les diverses variantes communales de sa préparation demanderaient à elles seules tout un livre. Il n’est pas dit toutefois qu’un éditeur trouverait les justifications suffisantes pour sa publication ; nous profitons donc ici de notre lancée pour initier le lecteur à une connaissance qui nous est chère.
     Jusqu’au dix-huitième siècle, le saumon et le kig-ha-farz constituaient l’essentiel de la nourriture des travailleurs agricoles dans la partie nord de la pointe de Bretagne (le Léon), tant l’un et l’autre étaient peu dispendieux. Les rivières regorgeaient du premier et les cultures de blé noir (sarazin) fournissaient l’essentiel de la matière du second. Pour éviter les excès abusifs d’employeurs particulièrement économes, certains employés de ferme exigeaient que fût stipulé dans leur contrat de travail le nombre maximum hebdomadaire de chacun de ces deux repas !
    Alors que la dégustation du saumon sauvage est aujourd’hui un plaisir gastronomique relativement onéreux, la consommation traditionnelle du kig-ha-farz est curieusement devenue aussi peu commune, et cela malgré un coût de préparation toujours très bas. Le lecteur qui aura été jusqu’au bout de l’expérience qui lui est ici proposée et qui, repu, en reviendra, rapportera sans doute quelques éléments d’explication à cette singularité de l’Histoire. Quelle que puisse être cette explication, c’est en hommage à ses racines que l’auteur tente ici une réhabilitation du kig-ha-farz.


INGRÉDIENTS (pour six personnes)
  • 1 litre de farine de blé noir, un demi-litre de lait, 4 œufs ;
  • 2 cuillerées à café de sel fin, 3 cuillerées à soupe de sucre ;
  • 400 grammes de beurre, 75 grammes de saindoux ;
  • 300 grammes de lard salé, 3 petits jarrets de porc ;
  • 3 poireaux, 3 oignons, 3 petits navets, 3 carottes, 5 échalotes, G pommes de
  • terre.

MATÉRIEL : un sac d’un volume de deux litres et demi environ, en grosse toile cousue ; une grosse marmite.

PRÉPARATION :

  • Éplucher les légumes ; couper en deux chaque oignon ; hacher finement les échalotes.
  • Mélanger farine, lait, œufs, sel, sucre, saindoux et 75 grammes de beurre jusqu’à obtention d’une pâte bien homogène.
  • Laver le sac à l’eau chaude ; y verser la pâte ; bien fermer le sac en nouant une ficelle et en prenant garde de laisser un vide pour permettre au far de gonfler.
  • Remplir la marmite de cinq litres d’eau froide ; y mettre les légumes, sauf les échalotes et les pommes de terre ; porter à ébullition.
  • Plonger vivement le sac dans la marmite, puis le lard et les jarrets ; l’eau doit recouvrir l’ensemble (en rajouter si nécessaire) ; laisser cuire deux heures à feu doux ; au bout d’une heure et demi, rajouter les pommes de terre.
  • Enlever le sac de la marmite ; le rouler puis en extraire habilement et doucement le contenu (attention, ce n’est pas évident) ; les traces des plis du sac doivent apparaître sur la surface du far ; découper en tranches de un à deux centimètres d’épaisseur.
  • Faire revenir les échalotes à la poêle dans 75 grammes de beurre, puis les incorporer à 300 grammes de beurre fondu ; avec la sauce ainsi constituée (le lipic), on nappe individuellement le contenu de son assiette (attention, abus dangereux).


Traditionnellement c’est le cidre brut et amer qui accompagne le kig-ha-farz.


RÉFÉRENCES :

[30] J.M. Simmel, On n'a pas tous les jours du caviar,  Éditions Robert Laffont, 1966.   
[31] Soizic Le Menec'h, (tradition orale).


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