BUT DE L'OUVRAGE

   Les équations aux dérivées partielles sont des équations différentielles mettant en jeu plusieurs variables indépendantes ; celles-ci sont des variables d'espace auxquelles s'ajoute le temps lorsque l'équation traduit un phénomène d'évolution. Ces équations ont leur origine dans l'écriture des bilans microscopiques de masse, de mouvement ou d'énergie, et c'est dire qu'on les rencontre dans tous les domaines de la physique : thermique, mécanique, électricité, géologie, biologie, etc. Les équations de la diffusion, par exemple, concernent autant le thermicien qui analyse les propriétés isolantes d'un matériau, que le géologue qui étudie les transferts d'humidité dans une roche poreuse, ou encore que le biologiste intéressé à la migration d'une population bactériologique dans un milieu organique. L'écriture et la résolution des équations aux dérivées partielles s'adressent donc à un vaste public scientifique.

   Le présent ouvrage ne concerne pas l'écriture des bilans qui conduisent à représenter les phénomènes par des équations aux dérivées partielles ; nous renvoyons pour cela le lecteur aux multiples ouvrages spécialisés de physique théorique ou appliquée. Ces équations ont donc été écrites déjà, et on peut admettre qu'elles traduisent convenablement la réalité qu'elles sont supposé représenter. Le but de ce livre est seulement d'exposer les méthodes conduisant à leur résolution pratique. Comme on ne sait pas, en général, trouver les solutions analytiques des équations aux dérivées partielles, il est nécessaire d'en chercher des solutions approchées, aussi voisines que possible de ces solutions exactes inconnues.

   Les méthodes de résolution approchée présentées ici sont exclusivement des méthodes conduisant à des algorithmes numériques destinés à être implantés sur calculateur. C'est en effet avec l'avènement des calculateurs puissants que se sont développés et multipliés les outils méthodologiques de résolution dont l'exigence en capacité de mémoire est souvent très grande. Le maniement des ordinateurs est désormais familier aux étudiants, aux chercheurs, et aux ingénieurs de toutes les branches scientifiques, et la pratique de ces résolutions peut donc être accessible à tous. Toutefois, la plupart des livres consacrés à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles sont à vocation essentiellement mathématique ; ils s'adressent donc difficilement à un nombreux public d'étudiants et d'ingénieurs qui ne veulent, ou ne peuvent, faire l'effort nécessité par la compréhension d'ouvrages abstraits dont les préoccupations se situent loin de tout pragmatisme. Notre souci a donc été de réunir ici, de façon homogène et en éliminant au maximum l'environnement théorique habituel à ces exposés, les principes de base des méthodes numériques capables de répondre à leurs besoins. C'est pourquoi, dans la présentation qui suit, on insistera davantage sur les aspects les plus utiles pour l'ingénieur, sans trop insister sur des démonstrations et validations théoriques, importantes certes, mais qui ne nous ont pas semblé indispensables du premier point de vue d'un utilisateur soucieux avant tout de s'initier à des techniques pratiques et concrètes.

    Le contenu et le plan de ce livre correspondent à l'enseignement donné par l'auteur en quatrième année de spécialisation à l'École Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace. Cet enseignement, d'ingénieur à ingénieurs, n'est pas un cours de mathématiques et ce livre ne doit pas être considéré comme tel ; il correspond au manuel simple qu'aurait aimé trouver l'auteur lorsqu'il a commence à s'intéresser, dans le cadre de l'optimisation de processus physiques et industriels, à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est le résultat du travail bibliographique de résumé et de synthèse effectué alors et depuis ; nous souhaitons que le lecteur puisse profiter de l'expérience ainsi réunie et acquérir assez facilement les notions essentielles, quitte à approfondir ensuite un problème spécifique à l'aide de références spécialisées ainsi rendues plus accessibles. En tout état de cause ce livre ne constitue donc qu'une première approche de la résolution numérique des équations aux dérivées partielles.


PLAN DE L'OUVRAGE

    Les méthodes de résolution des équations aux dérivées partielles sont classées en deux grandes familles radicalement différentes dans leurs principes. La première concerne les algorithmes basés sur les équations discrétisées des équations physiques continues ce sont les méthodes dites "d'approximation d'équations" ou encore "aux différences finies". La seconde famille regroupe les méthodes qui abordent le problème non plus par des équations approchées, mais directement par des modèles de solutions approchées : ce sont les méthodes "d'approximation de solutions". Après un premier chapitre de généralités, on consacre à ces deux familles de méthodes respectivement cinq et quatre chapitres dont les contenus sont sommairement décrits ci-après.

     Le chapitre 1, introductif, concerne la classification générale des équations aux dérivées partielles. Cette classification est établie, au départ, sur l'équation particulière d'ordre deux et à deux variables indépendantes, en s'inspirant de la classification des équations algébriques des coniques ; on définit ainsi, simplement d'abord, les équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques, puis on associe ces définitions à celle des directions caractéristiques de l'équation. Une seconde classification, fondamentale pour la compréhension et la mise en œuvre des algorithmes itératifs de résolution numérique, est établie parallèlement à la première : elle distingue les équations d'évolution et les équations stationnaires. Dans ce chapitre, on insiste aussi sur la mise sous forme matricielle des équations scalaires, la forme matricielle étant d'utilisation informatique plus efficace.

     Le chapitre 2 concerne la représentativité de la solution numérique d'une équation aux dérivées partielles discrétisée par la méthode des différences finies. Cette représentativité est assurée, sous certaines réserves, à condition que l'équation discrète soit consistante avec l'équation continue d'origine, et que sa résolution soit stable. On précise dans ce chapitre la définition des notions de consistance, de stabilité et de convergence ; on développe la méthode générale qui permet de calculer la précision que l'on peut attendre du schéma discret choisi ; on donne enfin la règle de calcul de la relation à laquelle doivent éventuellement obéir les pas de discrétisation pour que la stabilité soit garantie. De nombreux exemples classiques et simples illustrent cela.

     Le chapitre 3 est consacré à la résolution des équations paraboliques, pour lesquelles l'équation de la diffusion sert d'exemple. Dans le cadre de l'équation à une seule dimension d'espace, on approfondit les performances des schémas explicite, implicite et mixte tant sur le plan de la précision que sur celui de la stabilité. Pour plusieurs dimensions d'espace, on donne un exposé unifié des méthodes à pas fractionnaires réels et virtuels ; l'importance pratique de ces méthodes est très grande.

     Le chapitre 4 est réservé à la résolution des équations hyperboliques par la méthode des différences finies. Deux types de maillages discrets sont utilisés : le maillage naturel qui utilise les directions caractéristiques réelles propres à ce type d'équations, et le maillage conventionnel préétabli en coordonnées classiques, cartésiennes ou autres. En raison de leur importance pratique et de leurs qualités pédagogiques, les équations linéaires du premier et du second ordre sont étudiées en détail, et particulièrement l'équation des ondes sous ses formes scalaire et matricielles.

     Le chapitre 5 traite de la résolution des équations stationnaires elliptiques. Après quelques rappels utiles des méthodes itératives de minimisation de normes quadratiques associées aux systèmes algébriques symétriques et définis positifs, on développe les méthodes itératives de résolution des grands systèmes algébriques issus de la discrétisation des équations stationnaires : méthodes des déplacements simultanés, des déplacements successifs, méthodes de relaxation à convergence accélérée, méthodes dérivées des équations d'évolution. En raison de ses remarquables performances en rapidité de calcul, une place spéciale est donnée à la méthode de relaxation optimale de Frankel-Young, sans doute la plus utilisée en pratique. Sur l'exemple important et simple de l'équation de Laplace, toutes ces méthodes sont ensuite comparées entre elles, du point de vue de leur rapidité et des difficultés relatives de leur mise en œuvre.

     Au chapitre 6 on établit quelques formules générales et utiles pour discrétiser les dérivées partielles en pas variables. Pour l'espace à deux dimensions, on donne quelques maillages spéciaux particulièrement adaptés au découpage de certaines surfaces.

     C'est par la méthode des résidus pondérés qu'au chapitre 7 on aborde le principe de résolution impliquant des modèles approximatifs de solution ; la notion d'éléments finis est ensuite introduite à l'aide de la méthode particulière des fonctions splines. Par l'utilisation de la formule de Green (*), la formulation normale des résidus pondérés est transformée en une autre formulation dite "faible", moins exigeante en continuité pour l'approximation de solution, et dont la résolution est d'autant plus facilitée qu'on utilise la méthode de Galerkin. On suggère enfin que l'utilisation conjointe de la formulation faible, de la méthode de Galerkin et des éléments finis, semble la plus appropriée pour résoudre les problèmes à géométrie complexe.

     Le chapitre 8 commence par quelques rappels mathématiques sur les méthodes variationnelles et sur l'analyse fonctionnelle. Ces rappels ont pour but essentiel de montrer que la minimisation d'une fonctionnelle est équivalente à la résolution de son équation différentielle d'Euler ; plus précisément, on montre que la minimisation de la fonctionnelle par la méthode de Ritz conduit à la résolution du même système algébrique que celui obtenu par la méthode de Galerkin appliquée à la formulation intégrale faible de l'équation d'Euler. La bonne compréhension de cette équivalence est importante en pratique car beaucoup de problèmes physiques sont directement posés en termes de minimisation d'une fonctionnelle naturelle.

     Par souci pédagogique, il a paru souhaitable de bien dissocier la compréhension des principes de base de la méthode des éléments finis et les techniques de sa mise en œuvre. Les principes de base et les règles générales d'utilisation sont énoncés au chapitre 9 en s'appuyant, tout au long de celui-ci, sur un exemple mono-dimensionnel de la plus grande simplicité. Cette approche a pour but de faciliter au maximum le travail d'assimilation. demandé au lecteur ; en effet, les principes de base étant les mêmes quel que soit le nombre de variables indépendantes, l'extension de la méthode des éléments finis aux cas bi- et tri-dimensionnels n'est plus alors qu'affaire de généralisation et de technique. En raison de l'importance considérable de cette méthode, c'est pour dissocier ces deux étapes avec le maximum de clarté qu'elles ont été isolées dans deux chapitres différents. On a voulu ainsi éviter de rebuter d'entrée le lecteur par un exposé trop théorique ou par un exemple trop compliqué, et le familiariser en douceur avec une méthode dont l'approche n'est pas toujours évidente.

     Pour les problèmes à deux et trois dimensions d'espace, le chapitre 10 n'est ainsi exclusivement consacré qu'à la géométrie des découpages spatiaux élémentaires et à l'algèbre des fonctions d'interpolation correspondantes.

     Dans tout cet ouvrage, un losange blanc précède les titres des paragraphes qui demandent un effort d'assimilation mathématique plus important ou dont la lecture n'est pas indispensable à la compréhension de la suite. La bibliographie est sommaire et a été réduite aux titres essentiels recouvrant la totalité du sujet traité; ceux-ci ont été retenus comme étant ceux dont la lecture reste la plus abordable et, à notre avis, la plus rentable pour l'ingénieur désireux de poursuivre plus loin sa connaissance sur le sujet. Les articles focalisés sur des problèmes particuliers ont volontairement été écartés de cette bibliographie.


REMERCIEMENTS

      Nous tenons ici à remercier Électricité de France pour le financement d'études menées au Département d'Automatique du Centre d'Études et de Recherches de Toulouse (ONERA-CERT) et parallèlement auxquelles une partie de ce travail a été effectuée. Nos remerciements vont aussi à Soizic Le Menec'h, crêpière dans le Haut-Léon, et dont la participation inattendue à la fin de cet ouvrage aura peut-être le mérite de ne pas laisser sur sa faim un lecteur dont nous n'aurions su que trop partiellement combler l'appétit.

(*) NOTE : LE PLANIMÈTRE DE AMSLER

      Voir une application pratique (et amusante) de la formule de Green dans le planimètre de Amsler qui permet de mesurer des aires grâce à la circulation d'un pointeur sur leur contour.

      Sur l'image ci-dessus, l'appareil est ancré sur le plan par le socle A immobile, et la pointe B circule sur le contour de la surface. L'aire mesurée au vernier est (évidemment) indépendante de la position de A, conformément à la formule de Green.

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